Una musa d’arrel, tija i fulles
Hi ha qui troba sempre el que busca a pesar de tindre els calaixos fets un autèntic desastre. Com s’ho fan? Trobem la resposta entre flocs de neu, frondes de falguera, núvols, muntanyes, Star Trek o el nostre cos.
L’habitació d’un adolescent pot ser un malson per als maniàtics de l’ordre, però no sempre el caos és tan perjudicial per als nostres sentits. El curs d’un rierol, el moviment del foc o la trajectòria del fum en són exemples naturals.
Camins encreuats
Donem per suposat, que les línies paral·leles mai s’encreuaran per molt que les allarguem en l’espai i va ser Euclides qui així ho va formular fa ja 2500 anys. Però, i si aquestes línies sí pogueren trobar-se? Els meridians imaginaris que envolten La Terra coincideixen als pols, és a dir, que en una geometria esfèrica l’ idil·li entre paral·leles té un final feliç.
Escultura d’Euclides, Museu d’Història Natural de la Universitat d’Oxford. Fotografia propietat de Martin Beek
Les nostres cases estan plenes de perpendiculars i paral·leles euclidianes, les juntes dels rajols o els prestatges en són exemples i és ben senzill conèixer la seua llargària. No obstant, si mirem per la finestra i tenim la sort de veure muntanyes, núvols o la línea de la costa ens serà més complicat mesurar-ne les longituds.
Per a resoldre aquesta limitació de la geometria euclidiana, el lituà Mandelbrot va enunciar una geometria alternativa amb què mesurar la costa de Gran Bretanya, però d’açò fa menys d’un segle. Va nàixer la geometria fractal evidenciada a les fulles de les falgueres, el nostre sistema circulatori o les branques d’un arbre.
Michael Barrnsley va obtenir la imatge informàtica d’una fronde de falguera com a resultat de la iteració d’una funció matemàtica complexa
Quina és la diferència?
Segons Euclides, un cordell té dimensió 1, un triangle retallat de cartolina té dimensió 2 i una pilota té dimensió 3. D’altra banda, Mandelbrot diu que si fem serpentejar el cordell sobre el triangle de cartolina fins cobrir la seua superfície obtindrem un objecte de dimensió quasi 2. Com més serpentege el cordell més pròxim a la dimensió 2 estarà. És a dir, la Teoria Fractal ens permet usar dimensions intermèdies.
En observar la fronda d’una falguera veiem que es divideix, a cada costat del nervi central, en frondes més menudes, les pinnes. Cadascuna d’aquestes pinnes es una rèplica en miniatura de la fronda. Açò és el que Mandelbrot va a anomenar autosemblança molt encertadament. Passa el mateix amb les ramificacions dels arbres o del nostre sistema de vasos sanguinis. La totalitat del fractal és igual que qualsevol de les seues parts, si l’apropem o l’allunyem sempre té el mateix aspecte.
Conjunt de Mandelbrot
El CSIC va preparar al 2010 l’exposició “Armonía Fractal de Doñana y las Marismas” on gràcies a fotografies aèries de l’investigador Héctor Garrido podem apreciar les formes més belles d’un paisatge marcat pel caos. No cal pujar a un avió per gaudir del fractals, als mercats trobem el romanescu, l’estructura fractal del qual es veu clarament a la imatge i el bròcoli en què cada tronc es divideix en dos tronquets més menuts com passa als arbres.
Estructura fractal del romanescu
Estructura fractal del bròquil
L’artista japonés Hokusai pintava fractals abans que Mandelbrot formulara la seua teoria i Star Trek II, La Ira de Khan, va ser la primera pel•lícula en què es va crear una escena completa per ordinador gràcies a l’aplicació dels fractals al món de la imatge.
Obra de Hokusai, cada ona es divideix en dues ones més menudes
Per a crear un fractal no cal més que dibuixar uns quants triangles grans, dividir-los en quatre triangles més menuts i repetir aquest procés una i altra vegada. Dit així sembla molt senzill però les matemàtiques anteriors a Mandelbrot únicament explicaven formes geomètriques regulars com les de les nostres construccions arquitectòniques. Les piràmides d’Egipte o el Partenó d’Atenes van ser construïts gràcies a les matemàtiques clàssiques i les seues línies rectes en són prova.
La resta de patrons, els de la natura, que estaven al nostre planeta molt abans que les piràmides o les matemàtiques mateixes, eren aliens a cap tipus de geometria fins que Mandelbrot, als anys 70, va canviar el punt de vista i va proposar l’explicació fractal a les geometries naturals. Des d’aleshores ha estat tot un triomf matemàtic.
Fotografia de Isidro Cea
Potser pensem que tot açò sols afecte als matemàtics i als físics però la borsa, l’economia, les epidèmies o el sistema solar són sistemes caòtics com també ho són el fum, el foc o les molècules d’aigua d’un rierol. Descobrir l’estructura profunda de la irregularitat és la funció dels fractals i de la Teoria del Caos i eixa irregularitat és la cara més freqüent de la natura.
Un colp de poma al cap va ser suficient per a que Newton enunciara la Llei de la Gravitació Universal i Mandelbrot va tindre prou observant una fronda de falguera per revolucionar el món matemàtic. I si mirar plantes inspira?
