Una musa de raíz, tallo y hojas

Hay quien encuentra siempre lo que busca a pesar de tener los cajones hechos un auténtico desastre. ¿Cómo lo hacen? Hallamos la respuesta entre copos de nieve, frondes de helecho, nubes, montañas, Star Trek o nuestro cuerpo.

La habitación de un adolescente puede ser una pesadilla para los maniáticos del orden, pero no siempre el caos es tan perjudicial para nuestros sentidos. El curso de un riachuelo, el movimiento del fuego o la trayectoria del humo son ejemplos naturales.

Caminos cruzados

Damos por supuesto que las líneas paralelas nunca se cruzarán por mucho que las alarguemos en el espacio y fue Euclides quien así lo formuló hace ya 2500 años. Pero, ¿y si estas líneas sí pudieron encontrarse? Los meridianos imaginarios que rodean La Tierra coinciden en los polos, es decir, que en una geometría esférica el idilio entre paralelas tiene un final feliz.

Nuestras casas están llenas de perpendiculares y paralelas euclidianas, las juntas de los ladrillos o los estantes son algunos ejemplos y es muy sencillo medirlos. No obstante, si miramos por la ventana y tenemos la suerte de ver montañas, nubes o la línea de la costa nos será más complicado medir las longitudes.

Para resolver esta limitación de la geometría euclidiana, el lituano Mandelbrot enunció una geometría alternativa con la que medir la costa de Gran Bretaña, pero de esto hace menos de un siglo. Nació la geometría fractal evidenciada en las hojas de los helechos, nuestro sistema circulatorio o las ramas de un árbol.

¿Cuál es la diferencia?

Según Euclides, un cordel tiene dimensión 1, un triángulo recortado de cartulina tiene dimensión 2 y una pelota tiene dimensión 3. Por otro lado, Mandelbrot dice que si hacemos serpentear el cordel sobre el triángulo de cartulina hasta cubrir su superficie obtendremos un objeto de dimensión casi 2. Cuanto más serpentee el cordel más próximo a la dimensión 2 estará. Es decir, la Teoría Fractal nos permite usar dimensiones intermedias.

Al observar la fronde de un helecho vemos que se divide, a cada lado del nervio central, en frondes más pequeñas, las pinnas. Cada una de estas pinnas es una réplica en miniatura de la fronde. Esto es lo que Mandelbrot llamó autosemejanza muy acertadamente. Pasa lo mismo con las ramificaciones de los árboles o de nuestro sistema de vasos sanguíneos. La totalidad del fractal es igual a cualquiera de sus partes, si lo acercamos o lo alejamos siempre tiene el mismo aspecto.

Conjunto de Mandelbrot

Sí, esto también es fractal

El CSIC preparó en 2010 la exposición “Armonía Fractal de Doñana y las Marismas” en las que, gracias a fotografías aéreas del investigador Héctor Garrido, podemos apreciar las formas más bellas de un paisaje marcado por el caos. No es necesario subir a un avión para disfrutar de los fractales. En los mercados encontramos el romanesco, la estructura fractal del cual se ve claramente en la imagen y el brócoli, en el que cada tronco se divide en dos tronquitos más pequeños, igual que en los árboles.

Estructura fractal del romanesco

Estructura fractal del brócoli

El artista japonés Hokusai pintaba fractales antes de que Mandelbrot formulara su teoría y Star Trek II, La Ira de Khan, fue la primera película en la que se creó una escena completa por ordenador gracias a la aplicación de los fractales al mundo de la imagen.

Obra de Hokusai, cada ola se divide en dos olas más pequeñas

Para crear un fractal no hay más que dibujar unos cuantos triángulos grandes, dividirlos en cuatro triángulos más pequeños y repetir este proceso una y otra vez. Dicho así parece muy sencillo, pero las matemáticas anteriores a Mandelbrot únicamente explicaban formas geométricas regulares como las de nuestras construcciones arquitectónicas. Las pirámides de Egipto o el Partenón de Atenas fueron construidos gracias a la matemática clásica y sus líneas rectas son la prueba.

El resto de patrones, los de la naturaleza, que estaban en nuestro planeta mucho antes que las pirámides o las matemáticas mismas, eran ajenos a cualquier tipo de geometría hasta que Mandelbrot, en los 70, cambió el punto de vista y propuso la explicación fractal para las geometrías naturales. Desde entonces, ha sido todo un triunfo matemático.

Quizás pensemos que todo esto sólo afecta a los matemáticos y a los físicos pero la bolsa, la economía, las epidemias o el Sistema Solar son sistemas caóticos como también lo son el humo, el fuego o las moléculas de agua de un riachuelo. Descubrir la estructura profunda de la irregularidad es la función de los fractales y de la Teoría del Caos y esa irregularidad es la cara más frecuente de la naturaleza.